1997-2011数学一考研真题及答案解析

1997年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、填空题 3sincos lim cosln 【详解】原式= 3sincos limlim lim cos 【详解】根据幂级数的性质,逐项求导后,得 由于cos 可化为cos sincos cossin dydx 【详解2】螺线方程 lnarctan -3.【详解】 由于B 为三阶非零矩阵,且 (5)袋中有50个乒乓球,其中20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一 球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 1920 4949 2019 4949 二、选择题(1)二元函数 (A)连续,偏导数存在.(B)连续,偏导数不存在. (C)不连续,偏导数存在. 应选(C).【详解】 由偏导数的定义知 limlim 0,0lim 处不连续,可见,应选(C). (2)设在区间 应选(B).【详解】 sinsin 为正常数.(B)为负常数. 应选(A).【详解】 由于 sin sin 是以2π为周期的,因此 sinsin sinsin cos )交于一点的充要条件是 应选(D).【详解】 由题设,三条直线相交于一点,即线性方程组 (A)、(C)必要但非充分;(B)既非充分又非必要;只有(D)为充要条件,故应选(D).(5)设两个相互独立的随机变量X 的方差分别为4和2,则随机变量3 (B)16.(C)28. (D)44. 应选(D).【详解】 轴旋转一周形成的曲面与平面 所围成的区域.【详解】 利用柱面坐标,积分区域可表示为 其中C是曲线 轴正向往z轴负向看,C 的方向是顺时针的. 【详解1】 cossin 由于曲线C是顺时针方向,其起点和终点所对应θ 值分别为 sincos 2cos cossin sin 为边界的有限部分,其法向量与Z轴负向一致, xy xOy面上的投影区域. dzrotFdS dxdy dxdy 在任意时刻t已掌握新技术的人数为 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数 dxkx dxkdt kNtkNt NCe kNtkNt Nx 在平面π上,而平面π 与曲面 代入平面π方程,得 axab 【详解2】由方法一知,平面π 方程为2 其与平面π重合,要求 sinsin sincos xtdt 处的连续性.【详解】 xtdtu xt limlim limlim lim lim 证明:(1)lim 存在;(2)级数 收敛.【详解】 (1)因为 存在.(2)方法一: 存在,可见级数 也收敛.方法二: limlim 由比值判别法知级数 的解空间的一个标准正交基.【详解】 是解空间的基.先将其正交化,令: 3915 即为所求的一个标准正交基.(2)已知 及特征向量ζ所对应的特征值; (II) 问A能否相似于对角阵?说明理由. 【详解】 证明B可逆; 个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是象话独立的,并且概率都是 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数 和数学期望. 【详解】 因此,X的分布函数为 12581 125117 十、设总体X的概率密度为 其他其中 是来自总体X的一个容量为n 的简单随机样本,分别 用矩估计法和极大似然估计法求θ 的估计值. 【详解】 总体 ,得参数θ的矩估计量为 lnln lnln 1998年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析 一、填空题 【详解1】用四则运算将分子化简,再用等价无穷小因子代换, 【详解2】采用洛必达法则, limlim 可求出【详解3】 采用( yfxy xyyf xy yfxy 1212 dsxy ds xyds 其中第一个积分,由于l关于x 轴对称,而xy 关于y 为奇函数,于是 关于X的边缘概率密度在 【详解】区域D的面积为 dxdy dx 其他其关于x 的边缘概率密度为 dtdx 应选(A).【详解】 作变量代换 dudx dx dx 应选(B).【详解】 因为 的不可导点的个数为2.(3)已知函数 在任意点x处的增量 应选(D).【详解】 (A)相交于一点.(B)重合. (C)平行但不重合. 应选(A).【详解】 设矩阵 分别为两直线上的点,其连线向量为: 应选(C).【详解】 由条件概率公式及条件 轴旋转一周所成曲面的方程.【详解1】 过直线l 作一垂直于π 的平面 ,其法向量既垂直于l的方向向量 ,又垂直于π的法向量 0,1为直线l 上的点,所以该点也在平面 写成参数y的方程: 于是直线绕y轴旋转所得旋转曲面方程为: 【详解2】用平面束方法,直线 于是过l的平面方程可写成 ,使它与π垂直,得 以下同解法一.四、确定常数 其中C为任意常数. 五、从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y (从海平面算 起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在

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