高中数学必修1-5知识点

高一数学必修1知识网络 集合 ()元素与集合的关系:属于()和不属于( ()集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性集合与元素 ()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集 ()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 子集:若 的子集。、若集合 中有 个元素,则集合 的子集有 关系集合 集合与集合 、任何一个集合是它本身的子集,即、对于集合 如果 那么、空集是任何集合的(真)子集。永乐国际_[官网首页] 真子集:若 的真子集。集合相等: 交集性质: 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素 在集合中都有唯一确定的元素 与之对应,那么就称对应 为从集合到集合 的一个映射 传统定义:如果在某变化中有两个变量 并且对于 在某个范围内的每一个确定的值, 定义 按照某个对应关系 都有唯一确定的值和它对应。那么 就是 的函数。记作 函数及其表示 函数 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域 函数的三要素 值域 对应法则 解析法 函数的表示方法 列表法 单调性函数的基本性质 传统定义:在区间 上递减,是的递减区间。永乐国际_[官网首页] 导数定义:在区间 最大值:设函数的定义域为 ,如果存在实数 满足:( )对于任意的 ,都有 )存在,使得 是函数的最大值 上递增,是递增区间;如 上递减,是的递减区间。 小值:设函数的定义域为 ,如果存在实数 满足:( )对于任意的 ,都有 )存在,使得 是函数的最小值 定义域 叫做奇函数,其图象关于原点对称。奇偶性 定义域 象关于轴对称。 奇偶函数的定义域关于原点对称 周期性:在函数 的定义域上恒有 的常数 叫做周期函数,为周期; 的最小正值叫做 的最小正周期,简称周期 )描点连线法:列表、描点、连线向左平移 个单位: 向右平移 平移变换函数图象的画法 单位:向上平移 个单位: 向下平移 个单位: 横坐标变换:把各点的横坐标 缩短(当 时)或伸长(当 到原来的倍(纵坐标不变),即 伸缩变换 纵坐标变换:把各点的纵坐标 伸长( 或缩短( 关于点对称: 关于直线 对称: 对称变换 关于直线 对称: 关于直线对称: 一、函数的定义域的常用求法:1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数 函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数 tan 切函数cot 中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 是减函数。4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。永乐国际_[官网首页] 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 既是奇函数又是偶函数,则 (反之不成立)2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。永乐国际_[官网首页] )我们把使的实数 叫做函数 的零点。永乐国际_[官网首页] 定理:如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 零点与根的关系 那么,函数 在区间 内有零点。即存在 使得 这个 也是方 的根。(反之不成立)关系:方程 函数与方程 函数的应用 有实数根函数 有零点 函数 轴有交点确定区间 验证 给定精确度 求区间的中点 计算 判断是否达到精确度:即若 则得到零点的近似值 几类不同的增长函数模型函数模型及其应用 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 根式:为根指数, 为被开方数 分数指数幂 指数的运算 指数函数 性质 定义:一般地把函数 叫做指数函数。指数函数 性质:见表 对数: 基本初等函数 对数的运算 对数函数 loglog loglog log loglog loglog 为底数,为真数 性质 换底公式: 定义:一般地把函数 叫做对数函数对数函数 性质:见表 幂函数定义:一般地,函数 叫做幂函数, 是自变量, 是常数。永乐国际_[官网首页] 性质:见表2 过定点(0,1)过定点(1, 减函数增函数 减函数 增函数 为奇数为奇数 奇函数 为奇数为偶数 为偶数为奇数 偶函数 第一象限 性质 减函数 增函数 过定点 01 与直线之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们 规定它的倾斜角为0 度。因此,倾斜角的取值范围是0α<180 定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 表示。即tan 不存在。过两点的直线的斜率公式: 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 特殊的方程如:平行于x 轴的直线: 为常数);平行于y 轴的直线: 是不全为0的常数)的直线系: 为常数)()斜率为k 的直线系: 相交交点坐标即方程组 的一组解。方程组无解 10在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 EyDx 确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F; BbAa ,则有相离 ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为,则有 相离 yyxx 表示切点坐标,r 表示半径。 yyxx (课本命题).圆(x-a) (课本命题的推广). :有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 :以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 :用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 :有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 :用各顶点字母,如五棱锥 :侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 :用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 :用各顶点字母,如五棱台 :上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 :以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体:底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形。 :以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体:底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形。 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形。 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位臵关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位臵关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位臵关系,即反映了物体的高度和宽度。 原来与x轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变; 原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行,长度为原来的一半。 直棱柱侧面积rh 正棱锥侧面积rl Rlrl A.描述性说明;B.平面是无限伸展的; 通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内); 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。 在平面内,记作A ;点A不在平面内,记作A 的直线l上,记作:Al; 在直线l外,记作A :直线l在平面α内,记作l α;直线l不在平面α内,记作l 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。(即直线在平面内,或者平面经过直线) 检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线平面α和β相交,交线是a,记作αβ=a。 它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 不同在任何一个平面内的两条直线:既不平行,又不相交。 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 :直线a、b 是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a’a,b’b,则把直线 a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0,90],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这 :(1)判定空间直线是异面直线方法:根据异面直线的定义;异面直线的判定定理 求异面直线所成角步骤:A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位臵,顶点选在特殊的位 B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角 平行——没有公共点;αβ相交——有一条公共直线。αβ=b :平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行面面平行), (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行面面平行), (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行线线平行) 两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是 直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角:过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b 平行的直线 ,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的 平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个 棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么 所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面 是单位正方体.以A为原点, 分别以OD,O ,OB的方向为正方向,建立三条数轴x轴.y轴.z轴。 这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 轴叫做坐标轴.3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 轴正方向,食指指向为y 轴正向,中指指向则为z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位臵。 空间一点M的坐标可以用有序实数组( 叫做点M的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做 运算需要做几次加法和乘法 答案: :一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,其意义具有广泛的含义,如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌的算法,空调说明书是空调使用的算法… (algorithm) 算法的特征:有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去 确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可以是一个或多 个。没有输出的算法是无意义的。 可行性:算法的每一步都必须是可执行的,即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可 以完成,在时间上有一个合理的限度 算法含有两大要素:操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等控制结构:顺序结构,选择结构,循环结构 flow chart 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改。 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇到判断框时,往往临界的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流程,然后检查这个条件是否 正确,再考虑是否取等号的问题,这时候也就可以有几种书写方法了。 直到型循环当型循环 :是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重 复执行的操作,一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。 或者称为分支结构。其中的判断框,书写时主要是注意临界条件的确定。它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语句,不能同时执行,其中的 语句可以有一个为空,既不执行任何操作,只是表明在某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不执行其它语句。 :它用来解决现实生活中的重复操作问题,分直到型(until)和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不知道循环次数时)用 当型循环。 本书中指的是 (pseudo code),且是使用 BASIC 语言编写的, 是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号,是表达算法的简单而实用的好方法。 伪代码没有统一的格式,只要书写清楚,易于理解即可,但也要注意符号要相对统一, 避免引起混淆。如:赋值语句中可以用 表示两变量相乘时可以用“*”,也可以用“” 表达式变量 ”具有计算功能。如: 都是正确的。一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 支持多个输入和输出,但是中间要用隔开! Read 语句输入的只能是变量而不是表达 Print语句不能起赋值语句,意旨不能在Print 语句中用 Print语句可以输出常 量和表达式的值. 有多个语句在一行书写时用 等于5时,Print 没有End 不要忘记结束语句End 是对上一个条件的否定,即已经不属于上面的条件,另外Else 注意每个条件的临界性,即某个值是属于上一个条件里,还是属于下一个条件。 为了使得书写清晰易懂,应缩进书写。格式如下:

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