考研数学线性代数讲义

第一讲行列式 第二讲 矩阵 第三讲 向量 第四讲 线性方程组 第五讲 特征值与特征向量 第六讲 二次型 全国统一服务热线:400—668—2155Born win!精勤求学 自强不息 第一讲 行列式 内容概述:行列式是线性代数中最基本的运算之一,其计算方法灵活多变,与后续章节联系很多,出题方 式非常多变,是考生在接触线性代数后面临的第一道关卡。 从考试的角度看,涉及本章的内容主要有: 1.行列式的定义和性质; 2.行列式的展开定理; 3.行列式与矩阵运算的关系; 4.行列式和特征值的关系。www.6676.com_【官方首页】-王者棋牌 考生在复习本章时,应该注意如下三个方面:单从本章的内容来说,要理解行列式的定义、性质和展开定 理,并掌握利用它们计算各种类型的数值型行列式的方法;从与其它章节结合的角度来说,要掌握矩阵的 各种运算以及行列式与特征值的关系,并掌握利用它们计算各种抽象型行列式的方法;最后,从整个学科 的知识体系来说,还需要全面总结行列式在整个理论体系中的应用,从而达到对整个学科的融会贯通。 核心考点讲解: 一.基本概念 1.排列与逆序 1)排列:由 级排列共有 级排列中,如果一个较大数排在一个较小数前面,我们就称这两个数构成一个逆序。www.6676.com_【官方首页】-王者棋牌对于逆序, 我们感兴趣的是一个 称为奇排列。www.6676.com_【官方首页】-王者棋牌2.行列式 1112 2122 项组成,其中每一项都是行列式中n个不同行不同列元素的乘积,每一项的符号由排列 定,当它为偶排列时,符号为正;当它为奇排列时,符号为负。全国统一服务热线:400—668—2155 win注:1.要注意区分行列式和矩阵 11 12 2122 。首先,从概念上讲,行列式是一个数,而矩阵是一个数表,二者从本质上讲有区别;其次,从形式上看,行列式的阵中行数和列数必须一样(即行列 式都是“正方形”的),而矩阵中两者可以不一样。 2.从定义出发可以直接推出二阶矩阵、三阶矩阵,上三角矩阵和下三角矩阵的计算公式: 1112 1122 2122 11 22 nnnn adbc 它们是我们计算更复杂的行列式的基础。3.行列式的定义也可以写成 1112 2122 3.余子式元素 ij 阶行列式,记作ij 1112 2122 全国统一服务热线:400—668—2155Born win!精勤求学 自强不息 给余子式加上符号则成为代数余子式,记作 二.基本性质性质一:将行列式的行和列互换后,行列式的值不变。 性质二:将行列式的任意两行(或两列)互换位置后,行列式改变符号。 推论1:如果行列式有两行(或两列)相同,则行列式的值为0. 性质三:将行列式的某一行(或某一列)乘以一个常数k 后,行列式的值变为原来的k 推论2:如果一个行列式的某一行(或某一列)全为0,则行列式的值等于0.推论3:如果一个行列式的某两行(或某两列)元素对应成比例,则行列式的值等于0. 性质四:如果行列式某一行(或某一列)的所有元素都可以写成两个元素的和,则该行列式可以写成两个 行列式的和, 这两个行列式的这一行分别为对应两个加数,其他行与原行列式相等。即 11 12 1112 1112 2122 2122 2122 推论4:将行列式的一行(或一列)的k倍加到另一行(或另一列)上,行列式的值不变。 三.重要公式与定理 1.行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行(或列)所有元素乘以其代数余子式后再求和,即 njnj nink 该推论可以以三阶的情况为例简单证明如下:对于行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ,如果用第一行的元素乘以第二行的代数余子式再求和则得到全国统一服务热线:400—668—2155 win11 21 12 22 13 13 由于第二行元素的代数余子式在计算时会划掉第二行的元素,因此第二行元素的代数余子式是和第二行元素的取值无关的。也就是说,我们改变第二行元素的取值是不影响该式的。www.6676.com_【官方首页】-王者棋牌 我们把第二行元素改成 11 12 13 ,得到新的行列式11 12 13 11 12 13 31 32 33 ,根据行列式按行展开定理,这个新的行列式按照第二行展开之后就得到 11 21 12 22 13 13 而由行列式的性质可知,11 12 13 11 12 13 31 32 33 1121 12 22 13 13 2.考生要多注意上面推论的证明过程,它体现了我们在处理代数余子式相关的求和问题中的一个基本的思想:即反向运用展开定理,将若干个同行(或同列)代数余子式之和“升阶”成为一个n 阶行列式,再利 用行列式的性质进行计算。 3.利用行列式的性质与展开定理,我们还可以得到范德蒙行列式的计算公式: 考生可以不用掌握该公式的证明过程,记住结论即可。2.与其他章节的结合 阶方阵,且k为一实数,则有 ,ABBA 全国统一服务热线:400—668—2155Born win!精勤求学 自强不息 其中A,B分别为m阶,n 阶方阵。此展开定理又称为拉普拉斯展开定理。 (5)设矩阵A的特征值为 注:考试单独对行列式计算的考查主要集中在这一部分,即灵活运用矩阵乘法、逆矩阵、伴随矩阵及矩阵特征值与行列式的关系计算各种抽象型行列式,考生需要多加注意。 3.行列式在其它章节的运用 阶矩阵A的伴随矩阵:11 21 1222 。www.6676.com_【官方首页】-王者棋牌伴随矩阵是通过代数余子式定义的认识伴随矩阵的关键就是正确理解代数余子式的概念。伴随矩阵最重要的性质, 也是通过行列式按行和按列展开的定理证明的。 列所形成的k阶行列式称为矩阵A的一个k 阶子式。www.6676.com_【官方首页】-王者棋牌 矩阵A的秩:最高阶非零子式的阶数。 (3)克莱姆法则:设A为n 阶矩阵,则线性方程组Ax 列换成b之后所得矩阵的行列式。 (4)特征值的计算: (5)矩阵正定性的判定:各阶顺序主子式全大于零。经典例题精讲 一.数值型行列式的计算 基本思路:1.公式法(低阶行列式,上(下)三角行列式,范德蒙行列式) 2.三角化:利用行列式的基本性质将行列式化为上三角或下三角行列式; 3.展开:利用行列式的展开定理将行列式降阶或得到递推公式; 4.利用矩阵的分块。 【例1.1】:设a, win【评注】:三阶和二阶的行列式是有计算公式的,可以直接计算。四阶或四阶以上的行列式则一般要通过 展开的定理或矩阵的分块转化为低阶行列式进行计算。如下面两题: 【例1.2】:计算 全国统一服务热线:400—668—2155Born win!精勤求学 自强不息 【评注】:行列式的计算要注意观察行列式中数据的特点,不要盲目利用展开或利用公式。我们再来看下 面这个问题: 【例1.5】:解方程 的特征值。【例1.7】:计算 win【评注】:“爪型”行列式是高阶行列式中一种基本的类型,计算它的基本思路是“三角化”。考生可以自 行推导一下与它类似的下面行列式的计算公式: 【评注】:1.如果行列式的每行或每列的和一样,也可以采取方法一:将所有行(列)加到第一行(列)。2.本题的行列式,每行都基本相同,差异只在对角线上,一般的做法是方法二:将第一行或第一列的-1 加到其他行或列,化为爪型行列式。利用特征值计算行列式也是一种基本的思路,要点是将需要计算行列式的矩阵分解为一个秩为1 的矩阵与一个数量矩阵之和。类似地,见下题: 【例1.9】:计算 10全国统一服务热线:400—668—2155 Born win!精勤求学 自强不息 【例1.10】:计算 【评注】:当行列式某一行(列)只有一个或两个非零元时,可以考虑将行列式展开。将行列式展开的作用除了有降阶以外,还可以像本题这样得到递推公式。在推导递推公式时,要注意观察行列式的结构,找 出数据排列的规律,从而得到 的表达式。类似地,见下题:【例1.11】:证明 全国统一服务热线:400—668—215511 Born win【例1.12】:计算 12全国统一服务热线:400—668—2155 Born win!精勤求学 自强不息 【评注】:考生需要熟记范德蒙行列式的形式,一般来说,在利用它进行计算时,都需要对需要计算的行 列式进行变形,才能利用公式计算。类似地,见下题: 【例1.14】:计算 二.抽象型行列式的计算基本思路:1.利用行列式的基本性质 利用矩阵的各种运算与行列式的关系3.利用特征值 【例1.15】:4 阶方阵 均为4维列向量,且已 知行列式 全国统一服务热线:400—668—215513 Born win【例1.16】:3 阶方阵 【评注】:当抽象行列式是按照行向量或列向量的形式给出的时,往往利用行列式的基本性质进行变形。【例1.17】:3 阶方阵 【评注】:本题用行列式的基本性质进行计算略显麻烦,而将待计算行列式的矩阵分解再利用矩阵与行列式的关系进行计算的方法不但更为简洁,也更易推广。考生不妨自行用该方法计算一下【例1.16】。 【例1.19】:设三阶方阵A,B满足 ,其中E为三阶单位矩阵,若 14全国统一服务热线:400—668—2155 Born win!精勤求学 自强不息 【评注】:如果给出了矩阵方程要计算某矩阵的行列式,一般通过矩阵的运算法则提出需要计算行列式的 矩阵,再利用矩阵相乘的行列式进行计算。类似地,见下题: 【例1.20】:设矩阵 ,三阶矩阵B满足 是常用的技巧。【例1.22】:设A为三阶正交矩阵( 全国统一服务热线:400—668—215515 Born win【例1.23】:设4 阶矩阵A与B 相似,矩阵A的特征值为 【评注】:特征值的乘积等于行列式也是在计算抽象型行列式时常用的方法,它需要考生熟悉特征值的定义及各种性质。如下题: 【例1.24】:设3 阶矩阵A满足 【评注】:抽象型行列式的计算与后续章节联系比较紧密,需要用到矩阵的各种运算法则与技巧以及有关特征值的各种性质,综合性较强,需要考生有扎实的基础,对线性代数整个学科进行过细致而全面的复习。 三.有关代数余子式的计算 基本思路:反向运用展开定理,将余子式“升阶”为n 阶行列式。 【例1.25】:设 1112 13 14 4142 44 16全国统一服务热线:400—668—2155 Born win!精勤求学 自强不息 【例1.26】:设 四.行列式等于零的证明基本思路:1)证明 ,从A可逆找出矛盾3)证明齐次线性方程组 5)证明0是A的特征值。 【例1.26】:证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 全国统一服务热线:400—668—2155 17 Born win【例1.27】:设A 为奇数阶正交矩阵,即 五.克莱默法则的运用【例1.30】:齐次线性方程组 的系数矩阵记为A若存在3阶非零矩阵B 使得AB 【评注】:本题容易写出如下错误的解答:由于B为非零矩阵,可知 18全国统一服务热线:400—668—2155 Born win!精勤求学 自强不息 。考生自行思考一下错在什么地方。【例1.31】: 为何值的时候,该方程组有唯一解,并求 【评注】:对于高阶含参数且系数矩阵为方阵的线性方程组,在有唯一解时,可以考虑用克莱默法则求解;有无穷多解或无解时,一般也可以通过克莱默法则得到 ,确定阵中的参数之后再进行讨论。全国统一服务热线:400—668—2155 19 Born win第二讲 矩阵 内容概述:矩阵是线性代数的“活动基地”,在整个学科中有很基本的意义。本章的重难点、易错点较多, 同时也是其它章节的基础和相互之间联系的桥梁,需要引起考生足够的重视。 从历年真题及考试大纲的要求来看,本章主要有如下几方面的内容: 1)矩阵的定义、运算及运算法则; 2)逆矩阵与伴随矩阵; 3)初等变换与初等矩阵; 4)矩阵的秩。 其中,矩阵的运算是基础,这里有一个易错点是矩阵的运算法则中与我们熟知的数的运算法则中不同的地 方,需要考生多加注意,在学习之初就养成良好的计算习惯,避免犯错。逆矩阵和伴随矩阵是本章一个比 较大的考点,在考试中出现的频率很高;考生首先需要理解逆矩阵的概念,掌握矩阵可逆的充要条件。在 证明矩阵可逆的充要条件时,伴随矩阵起到了很关键的作用,有关它的题目一直也都是一个难点。对此考 生需要理解伴随矩阵的概念,掌握它的主要性质,尤其是它与逆矩阵的联系。初等变换是线性代数中最基 本的运算之一,基本上在每一章都有涉及。考生需要理解它与初等矩阵之间的关系,掌握利用初等行变换 求逆矩阵的方法。最后,秩是贯穿线性代数始终的一个基本的概念,考生需要正确理解它的定义,掌握它 的基本公式以及基本的计算方法。 核心考点讲解: 一.基本概念 1.矩阵的定义 列数表11 12 2122 称为A的行列式。两个矩阵 则称它们为同型矩阵。如果两个同型矩阵 ijij 矩阵A与矩阵B相等,记作A 注:常见的矩阵有零矩阵:所有元素均为0的矩阵称之为零矩阵,记为O. 单位矩阵:主对角线上的元素均为1,其余元素均为0的矩阵称之为单位矩阵,记作E 对角矩阵:主对角线以外的元素均为0的矩阵称之为对角矩阵。主对角线上的元素均相等的对角矩阵称之为数量矩阵。 上(下)三角矩阵:主对角线以下的元素全为0的矩阵称之为上三角矩阵;主对角线以上的元素全 为0的矩阵称之为下三角矩阵。 对称矩阵:如果矩阵A的转置 等于A,则称A为对称矩阵。正交矩阵:设A是 ,则称A是正交矩阵。20 全国统一服务热线:400—668—2155 Born win!精勤求学 自强不息 2.矩阵的运算 1)矩阵的加法 ijij ij 为矩阵A与矩阵B的和,记作 矩阵,k为任意实数,则定义 ijkA ka ,称之为矩阵的数乘。由定义易知,矩阵的加法与数乘满足如下性质: 交换律:A lAkl kAkB kAlA 注:以上性质和实数的运算中有类似的形式,可以不必特别记忆。矩阵运算中比较困难的是其与实数运算中不一样的地方。因此我们只需要不同点就可以了。 3)矩阵的乘法设 njik kj ,称为矩阵A与矩阵B的的乘积,记作C AB 次幂。易知,矩阵的幂满足 注:1.注意不是任意两个矩阵A与B都能相乘的,必须有A的列数和B 的行数相等。 2.由定义可以直接检验,矩阵乘法与矩阵加法和数乘满足如下公式: 结合律:( CACB ACBC ABBA 见AB与BA不一定相等。 事实上满足AB BA 的情况是比较少的,在线性代数中我们称满足该等式的矩阵A与B可交换。因此, 我们在做矩阵的乘法的时候一定要分清楚是左乘还是右乘,在学习之初就要养成良好的习惯,降低出错的 全国统一服务热线:400—668—2155 21 Born win可能性。 另外,由于AB 不一定等于BA,很多我们在数的运算中所熟知的公式也不再成立了,如 ABBA 。这些公式成立的条件都是A与B 可交换。 4.矩阵的运算也不满足消去率。如令 。这也是一个考生容易犯错误的地方。与之类似地,由 ABAC 。这与前面实际上是一个道理,因为ABAC ijji 简单地说,转置就是将矩阵原先的行换为对应的列之后得到的矩阵。由定义可以直接检验,矩阵的转置与矩阵的加法、数乘和乘法之间满足如下的关系式: kAkA AB 5)初等行(列)变换:我们对矩阵可以做如下三种初等行(列)变换:a.交换矩阵的两行(列); b.将一个非零数k 乘到矩阵的某一行(列) c.将矩阵的某一行(列)的k 倍加到另一行上。 初等变换都是可逆的,即矩阵A经过初等变换得到的矩阵还可以经过初等变换还原到A 注:如果矩阵A可以通过初等变换化为矩阵B,则称矩阵A与矩阵B 等价,记作A 3.特殊矩阵1)逆矩阵 对于一个n 阶方阵A,如果存在一个n 阶方阵B ,使得AB BA 注:要注意定义中要求矩阵A为方阵,同时逆矩阵的定义中要求的是ABBA 认为矩阵B为矩阵A的逆矩阵。例如,令 ,但显然矩阵B 不为矩阵A的逆矩阵。 2)伴随矩阵 的代数余子式(回忆代数余子式的定义),则定义22 全国统一服务热线:400—668—2155 Born win!精勤求学 自强不息 11 21 1222 为A的伴随矩阵。注:1.注意伴随矩阵的排列顺序中行和列是相反的, 列元素的代数余子式;2.代数余子式是有符号的,考生也不要忘记这一点。 3.从定义我们可以直接得到二阶矩阵 3)初等矩阵对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵。由于初等变换有三种,初等矩阵也就有三种: 交换单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作ij 列得到的。将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作 以非零数k得到的。 将单位矩阵的第i 倍加到第i列上得到的。 注:1.初等矩阵都只能是做单位矩阵做一次初等变换之后得到的; 2.对每个初等矩阵,都要从行和列的两个角度来理解它,这在上面的定义中已经说明了。 4)分块矩阵 用水平和垂直的直线将矩阵A分成很多小块,每一块称之为A的一个子矩阵,则A称为以这些子矩阵为 元素的分块矩阵。 a.大多数情况下,我们只需要掌握分成4块的分块矩阵就可以了,即如下形式的矩阵 对分块矩阵也有相应的加法,数乘等运算 kAkB kCkD AABC AB BD CADC CB DD

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